Gini-Koeffizient
Der vom italienischen Statistiker und Demographen Corrado Gini entwickelte Gini-Koeffizient beschreibt den Grad der Ungleichheit der Einkommensverteilung in einem Land oder einer Region (eine ausführliche Erklärung findet sich im ABC unter dem Begriff Gini-Koeffizient).
Als Datenbasis für die Erstellung einer Lorenzkurve und die Berechnung des Gini-Koeffizienten dienen in erster Linie die Publikationen des Teams der World Income Inequality (WIID).
Unter der Internet-Adresse https://www.wider.unu.edu/database/wiid können die gewünschten Daten abgerufen werden.
So wurden etwa in Österreich folgende Quintile für das Jahr 2018 ermittelt:
| Quintile | Verteilung |
|---|---|
| 20 % | 8,9 % |
| 40 % | 14,3 % |
| 60 % | 18,2 % |
| 80 % | 22,8 % |
| 100 % | 35,8 % |
Diese Werte werden nun in Excel in zwei (nebeneinander liegende) Spalten mit den Überschriften "Quintile" und "Verteilung" eingegeben.
In einer (daneben liegende) dritte Spalte werden die kumulierten (aufsummierten) Verteilungen berechnet.
Die Zellen der Spalte "Quintile" werden mit dem Format "Prozent ohne Dezimalstellen" versehen, die beiden Verteilungsspalten mit dem Format "Prozent mit 2 Dezimalstellen".
Nun werden die beiden Datenspalten "Quintile" und "Kumulierte Verteilung" (mit den Überschriften) markiert und im Register Einfügen die Gruppe Diagramme und in der Dialogbox Alle Diagramme der Diagrammtyp Linie mit Datenpunkten ausgewählt.
Jetzt werden die beiden Werteachsen formatiert:
Für die senkrechte Achse werden die (neuen) Grenzen 0,0 (Minimum) und 1,0 (Maximum) eingegeben.
Bei der waagrechten Achse wird zunächst der Datenbereich ausgewählt und bearbeitet. Dabei werden die Datensätze der Spalte "Quintile" als neuer Achsenbeschriftungsbereich gewählt.
Die Fläche zwischen der orangen Realverteilungskurve (Lorenzkurve) und der blauen Kurve der Gleichverteilung ("Quintile") ist ein Maß für die ungleiche Einkommensverteilung. So zeigt sich etwa im Diagramm, dass 60 % der ärmsten Bewohner nur 41,4 % des gesamten Einkommens erhalten, jedoch 20 % der reichsten Bewohner 35,8 % (= 100 % − 64,2 %) erhalten.
Es gilt also: Je weiter die orange Kurve von der blauen Kurve entfernt ist, desto größer ist die Fläche zwischen diesen beiden Kurven und desto ungerechter ist die Verteilung.
Der Gini-Koeffizient setzt nun die Fläche zwischen den beiden Kurven ins Verhältnis zur Halbfläche des gesamten Quadrats.
Um die Fläche zwischen den beiden Kurven zu berechnen, wird zuerst die Fläche zwischen der orangen Realverteilungskurve (Lorenzkurve) und der waagrechten Werteachse berechnet. Anschließend wird diese Unterfläche von der Halbfläche des Quadrates abgezogen.
Für die Berechnung der Fläche zwischen der orangen Realverteilungskurve (Lorenzkurve) und der waagrechten Werteachse wird diese in Trapeze zerlegt. Dabei stehen in jedem Trapez die beiden Parallelseiten senkrecht zur waagrechten Werteachse, während die Höhe 20 (%) direkt auf der waagrechten Werteachse abgelesen werden kann.
Für die Berechnung der gesamten Fläche ergibt sich daher:
| Trapez | Flächeninhalt |
|---|---|
| 1 | ((8,9 + 0) / 2) ⋅ 20 |
| 2 | ((23,2 + 8,9) / 2) ⋅ 20 |
| 3 | ((41,4 + 23,2) / 2) ⋅ 20 |
| 4 | ((64,2 + 41,4) / 2) ⋅ 20 |
| 5 | ((100 + 64,2) / 2) ⋅ 20 |
Diese Rechnung kann auch als
10 ⋅ (0 + 2 ⋅ 8,9 + 2 ⋅ 23,2 + 2 ⋅ 41,4 + 2 ⋅ 64,2 + 100) = 3 754
angeschrieben werden.
Die Fläche zwischen der orangen Realverteilungskurve (Lorenzkurve) und der waagrechten Werteachse beträgt somit 3 754 (Prozent2).
Da die Halbfläche des Quadrates 100 ⋅ 100 / 2 = 5 000 (Prozent2) groß ist, gilt für den Flächeninhalt zwischen der orangen Realverteilungskurve (Lorenzkurve) und der blauen Kurve der Gleichverteilung:
5 000 − 3 754 = 1 246 (Prozent2)
Dieser Flächeninhalt wird nun ins Verhältnis zur Halbfläche des gesamten Quadrats gesetzt. Somit gilt für den Gini-Koeffizienten:
1 246 / 5 000 = 0,2492
Werden anstelle der Quintile Dezile verwendet, so wird die Rechnung noch verfeinert.
| Dezile | Verteilung |
|---|---|
| 10 % | 3,4 % |
| 20 % | 5,5 % |
| 30 % | 6,7 % |
| 40 % | 7,6 % |
| 50 % | 8,6 % |
| 60 % | 9,6 % |
| 70 % | 10,7 % |
| 80 % | 12 % |
| 90 % | 14,3 % |
| 100 % | 21,6 % |
| Trapez | Flächeninhalt |
|---|---|
| 1 | ((3,4 + 0) / 2) ⋅ 10 |
| 2 | ((8,9 + 3,4) / 2) ⋅ 10 |
| 3 | ((15,6 + 8,9) / 2) ⋅ 10 |
| 4 | ((23,2 + 15,6) / 2) ⋅ 10 |
| 5 | ((31,8 + 23,2) / 2) ⋅ 10 |
| 6 | ((41,4 + 31,8) / 2) ⋅ 10 |
| 7 | ((52,1 + 41,4) / 2) ⋅ 10 |
| 8 | ((64,1 + 52,1) / 2) ⋅ 10 |
| 9 | ((78,4 + 64,1) / 2) ⋅ 10 |
| 10 | ((100 + 78,4) / 2) ⋅ 10 |
5 000 − 3 689 = 1 311 (Prozent2)
Somit gilt in diesem Fall für den Gini-Koeffizienten:
1 311 / 5 000 = 0,2622